Enunciado

Se y = C 1 e 2 x +   C 2 x e 2 x           é a solução geral de uma equação diferencial, então a ordem da equação é __________ e a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial y(0) = 1, y(0) = 4 é dada por y = __________.

Passo 1

Primeiramente, devemos lembrar que a equação geral de uma equação diferencial segue um modelo. Nesse caso, a solução y = C 1 e 2 x +   C 2 x e 2 x deixa claro que foi originada de uma equação de raízes reais r = 2. Para gerar raízes reais a equação deve ser do segundo grau de ordem 2, uma vez que quando expressa no modelo de equações diferenciais y ' ' + a y ' + b y = 0 possui o termo y’’ de ordem 2.

Passo 2

E por último, encontrar a solução da equação diferencial, que satisfaz y(0) = 1 e y’(0) = 4, ou seja, a ideia é encontrar os valores de C 1 e C 2   . Primeiro substituímos y(0) = 1 na solução y = C 1 e 2 x +   C 2 x e 2 x , assim:

y = C 1 e 2   ( 0 ) +   C 2 * 0 * e 2   ( 0 ) C 1 = 1

Passo 3

Para encontrarmos o valo de C 2 é necessário derivar a solução y = C 1 e 2 x +   C 2 x e 2 x , temos:

d y d x ( y = C 1 e 2 x +   C 2 x e 2 x ) y ’ = 2 * C 1 * e 2 x + C 2 * e 2 x + 2 * C 2 * e 2 x * x

Substituímos os valores de C 1   e consideramos y’(0) = 4.

4 = 2 * 1 * e 2 ( 0 ) + C 2 * e 2 ( 0 ) + 2 * C 2 * e 2 ( 0 ) * 0 4 - 2 = C 2   C 2 = 2

Os valore de C 1 e C 2 são substituídos na solução e temos:

y = 1 e 2 x +   2 x e 2 x

Resposta

2 , y = 1 e 2 x +   2 x e 2 x

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