Nessa questão ele pede para achar a solução geral do sistema dado

dx/dt = x + y

dy/dt = -2x - y

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para acharmos a solução geral do sistema, dado que

d x d t = x + y

d y d t = - 2 x - y

Lembrando que para essa questão vale a pena nos lembrar da fórmula de autovalor que é,

det ⁡ A - λ I = 0

Passo 2

Sabendo que,

d x d t = x + y d y d t = - 2 x - y

Temos que, usando a fórmula de autovalor

1 1 - 2 - 1 - λ 0 0 λ = 0

1 - λ 1 - 2 - 1 - λ

Realizando a multiplicação vamos ter que,

1 - λ - 1 - λ - 2

λ 2 + 1 = 0

λ = ± 1 λ 1 = i

Passo 3

A partir daí temos que,

k 1 = - 1 - i 2

Que vai ficar

x 1 = - 1 - i 2 e ( i t ) = sin ⁡ t - cos ⁡ t   2 cos ⁡ t   + i - cos ⁡ t - sin ⁡ t 2 sin ⁡ t  

Sendo,

x = c 1 sin ⁡ t - cos ⁡ t   2 cos ⁡ t   + c 2 - cos ⁡ t - sin ⁡ t 2 sin ⁡ t  

Resposta

x = c 1 sin ⁡ t - cos ⁡ t   2 cos ⁡ t   + c 2 - cos ⁡ t - sin ⁡ t 2 sin ⁡ t