Nessa questão ele pede para achar a solução geral do sistema dado

dx / dt = 4x + 5y

dy/dt = -2x + 6y

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para acharmos a solução geral do sistema, dado que

d x d t = 4 x + 5 y

d y d t = - 2 x + 6 y

Lembrando que para essa questão vale a pena nos lembrar da fórmula de autovalor que é,

det ⁡ A - λ I = 0

Passo 2

Sabendo que,

d x d t = 4 x + 5 y d y d t = - 2 x + 6 y

Temos que, usando a fórmula de autovalor

4 5 - 2 6 - λ 0 0 λ = 0

4 - λ 5 - 2 6 - λ

Realizando a multiplicação vamos ter que,

4 - λ 6 - λ - ( - 10 )

λ 2 - 10 λ + 34 = 0 λ 1 = 5 + 3 i

- 10 2 - 4.1 . 34

- 36

Passo 3

A partir daí temos que,

k 1 = 1 - 3 i 2

Que vai ficar

x 1 = 1 - 3 i 2 e ( 5 + 3 t ) = cos ⁡ 3 t + 3 sin ⁡ 3 t 2 cos ⁡ 3 t   e 3 t + i - sin ⁡ 3 t - 3 cos ⁡ 3 t 2 sin ⁡ 3 t  

Sendo,

x = c 1 cos ⁡ 3 t + 3 sin ⁡ 3 t 2 cos ⁡ 3 t   e 5 t + c 2 sin ⁡ 3 t - 3 cos ⁡ 3 t 2 cos  ⁡ 3 t   e 5 t

Resposta

x = c 1 cos ⁡ 3 t + 3 sin ⁡ 3 t 2 cos ⁡ 3 t   e 5 t + c 2 sin ⁡ 3 t - 3 cos ⁡ 3 t 2 cos  ⁡ 3 t   e 5 t