Nessa questão ele pede para achar a solução geral do sistema dado

X ' 4 - 5 5 - 4 X

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para acharmos a solução geral do sistema, dado que

X ' 4 - 5 5 - 4 X

Lembrando que para essa questão vale a pena nos lembrar da fórmula de autovalor que é,

det ⁡ A - λ I = 0

Passo 2

Sabendo que,

X ' 4 - 5 5 - 4 X

Temos que, usando a fórmula de autovalor

4 - 5 5 - 4 - λ 0 0 λ = 0

4 - λ - 5 5 - 4 - λ

Realizando a multiplicação vamos ter que,

4 - λ - 4 - λ - ( - 25 )

- 16 - 4 λ + 4 λ + λ 2 + 25

λ 2 + 9 = 0

λ = ± 3

λ 1 = 3 i

Passo 3

A partir daí temos que,

k 1 = 4 + 3 i 5

Que vai ficar

x 1 = 4 + 3 i 5 e ( 3 i t ) = 4 cos ⁡ 3 t - 3 sin ⁡ 3 t 5 cos ⁡ 3 t   + i 4 sin ⁡ 3 t + 3 cos ⁡ 3 t 5 sin ⁡ 3 t  

Sendo,

x = c 1 4 cos ⁡ 3 t - 3 sin ⁡ 3 t 5 cos ⁡ 3 t   + c 2 4 sin ⁡ 3 t + 3 cos ⁡ 3 t 5 sin ⁡ 3 t  

Resposta

x = c 1 4 cos ⁡ 3 t - 3 sin ⁡ 3 t 5 cos ⁡ 3 t   + c 2 4 sin ⁡ 3 t + 3 cos ⁡ 3 t 5 sin ⁡ 3 t