Nessa questão ele pede para achar a solução geral do sistema dado

X ' 1 - 8 1 - 3 X

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para acharmos a solução geral do sistema, dado que

X ' = 1 - 8 1 - 3 X

Lembrando que para essa questão vale a pena nos lembrar da fórmula de autovalor que é,

det ⁡ A - λ I = 0

Passo 2

Sabendo que,

X ' = 1 - 8 1 - 3 X

Temos que, usando a fórmula de autovalor

1 - 8 1 - 3 - λ 0 0 λ = 0

1 - λ - 8 1 - 3 - λ

Realizando a multiplicação vamos ter que,

1 - λ - 3 - λ - ( - 8 )

λ 2 + 2 λ + 5 = 0

2 2 - 4.1 . 5

- 16

λ 1 = - 1 + 2 i

Passo 3

A partir disso temos que obter que,

k 1 = 2 + 2 i 1

Que vai ficar

x 1 = 2 + 2 i 1 e ( - 1 + 2 i ) t = 2 cos ⁡ 2 t - 2 sin ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t   e - t + i 2 cos  ⁡ 2 t + 2 sin ⁡ 2 t sin ⁡ 2 t   e - t

Sendo,

x = c 1 2 cos ⁡ 2 t - 2 sin ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t   e - t + c 2 2 cos  ⁡ 2 t + 2 sin ⁡ 2 t sin ⁡ 2 t   e - t

Resposta

x = c 1 2 cos ⁡ 2 t - 2 sin ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t   e - t + c 2 2 cos  ⁡ 2 t + 2 sin ⁡ 2 t sin ⁡ 2 t   e - t