Nessa questão ele pede para achar a solução geral do sistema dado

dx / dt = 6x - y

dy/dt = 5x + 2y

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para acharmos a solução geral do sistema, dado que

d x d t = 6 x - y

d y d t = 5 x + 2 y

Lembrando que para essa questão vale a pena nos lembrar da fórmula de autovalor que é,

det ⁡ A - λ I = 0

Passo 2

Sabendo que,

d x d t = 6 x - y d y d t = 5 x + 2 y

Temos que, usando a fórmula de autovalor

6 - 1 5 2 - λ 0 0 λ = 0

6 - λ - 1 5 2 - λ

Realizando a multiplicação vamos ter que,

6 - λ 2 - λ - ( 5 . - 1 )

λ 2 - 8 λ + 17 = 0 λ 1 = 4 + i

- 8 2 - 4.1 . 17

- 4

Passo 3

A partir daí temos que,

k 1 = 2 + i 5

Que vai ficar

x 1 = 2 + i 5 e ( 4 + i ) = 2 cos ⁡ t - sin ⁡ t 5 cos ⁡ t e 4 t + i cos ⁡ t + 2 sin ⁡ t 5 sin ⁡ t e 4 t

Sendo,

x = c 1 2 cos ⁡ t - sin ⁡ t 5 cos ⁡ t e 4 t + c 2 2 sin ⁡ t + cos ⁡ t 5 sin ⁡ t e 4 t

Resposta

x = c 1 2 cos ⁡ t - sin ⁡ t 5 cos ⁡ t e 4 t + c 2 2 sin ⁡ t + cos ⁡ t 5 sin ⁡ t e 4 t