Nessa questão ele pede para achar a solução geral do sistema dado

dx / dt = z

dy / dt = -z

dz / dt = y

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para acharmos a solução geral do sistema, dado que

d x d t = z

d y d t = - z

d z d t = y

Lembrando que para essa questão vale a pena nos lembrar da fórmula de autovalor que é,

det ⁡ A - λ I = 0

Passo 2

Sabendo que,

d x d t = z

d y d t = - z

d z d t = y

Temos que, usando a fórmula de autovalor

1 - 1 1 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

1 - λ - 8 1 - 3 - λ

Realizando a multiplicação vamos ter que

- λ λ 2 + 1 = 0

- λ = 0

λ 2 + 1 = 0

λ 1 = 0 , vamos ter que

k 1 = 1 0 0

E para λ 2 = i vamos obter que

k 2 = - i i i

Tendo no final que,

x 2 = - i i i e i t = sin ⁡ t - sin ⁡ t cos ⁡ t + i - cos ⁡ t cos ⁡ t sin ⁡ t

Ficando,

x = c 1 1 0 0 + c 2 sin ⁡ t - sin ⁡ t cos ⁡ t + c 3 - cos ⁡ t cos ⁡ t sin ⁡ t

Resposta

x = c 1 1 0 0 + c 2 sin ⁡ t - sin ⁡ t cos ⁡ t + c 3 - cos ⁡ t cos ⁡ t sin ⁡ t