Nessa questão ele pede para achar a solução geral do sistema dado

dx/dt = 5x + y

dy/dt = -2x + 3y

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para acharmos a solução geral do sistema, dado que

d x d t = 5 x + y

d y d t = - 2 x + 3 y

Lembrando que para essa questão vale a pena nos lembrar da fórmula de autovalor que é,

det ⁡ A - λ I = 0

Passo 2

Sabendo que,

d x d t = 5 x + y d y d t = - 2 x + 3 y

Temos que, usando a fórmula de autovalor

5 1 - 2 3 - λ 0 0 λ = 0

5 - λ 1 - 2 3 - λ

Realizando a multiplicação vamos ter que,

5 - λ 3 - λ - ( - 2 )

λ 2 - 8 λ + 17 = 0 λ 1 = 4 + i

- 8 2 - 4.1 . 17

- 4

Passo 3

A partir daí temos que,

k 1 = - 1 - i 2

Que vai ficar

x 1 = - 1 - i 2 e ( 4 + t ) = sin ⁡ t - cos ⁡ t   2 cos ⁡ t   e 4 t + i - sin ⁡ t - cos ⁡ t 2 sin ⁡ t  

Sendo,

x = c 1 sin ⁡ t - cos ⁡ t   2 cos ⁡ t   e 4 t + c 2 - sin ⁡ t - cos ⁡ t 2 sin ⁡ t   e 4 t

Resposta

x = c 1 sin ⁡ t - cos ⁡ t   2 cos ⁡ t   e 4 t + c 2 - sin ⁡ t - cos ⁡ t 2 sin ⁡ t   e 4 t