Nessa questão ele pede para achar a solução geral do sistema dado

X ' = 4 0 1 0 6 0 - 4 0 4 X

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para acharmos a solução geral do sistema, dado que

X ' = 4 0 1 0 6 0 - 4 0 4 X

Lembrando que para essa questão vale a pena nos lembrar da fórmula de autovalor que é,

det ⁡ A - λ I = 0

Passo 2

Sabendo que,

X ' = 4 0 1 0 6 0 - 4 0 4 X

Temos que, usando a fórmula de autovalor

4 0 1 0 6 0 - 4 0 4 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

4 - λ 0 1 0 6 - λ 0 - 4 0 4 - λ

Realizando a multiplicação vamos ter que

( 6 - λ ) ( λ 2 - 8 λ + 20 ) = 0

λ 3 - 8 λ 2 + 2 0 λ - 6 λ 2 - 48 λ - 120 = 0 → λ 3 - 14 λ 2 - 28 λ - 1 2 0

λ 1 = 6                 e                 λ 2 = 4 + 2 i

Com isso, temos

k 2 = 0 1 0                                                   k 2 = - 1 0 2

Tendo por fim,

x 2 = 1 0 2 e 4 + 2 i t = sin ⁡ t 0 2 cos ⁡ 2 t e 4 t + i - cos ⁡ 2 t 0 2 sin ⁡ 2 t e 4 t

Ficando com

x = c 1 0 1 0 e 6 i + c 2 sin ⁡ t 0 2 cos ⁡ 2 t e 4 t + c 3 - cos ⁡ 2 t 0 2 sin ⁡ 2 t e 4 t

Resposta

x = c 1 0 1 0 e 6 i + c 2 sin ⁡ t 0 2 cos ⁡ 2 t e 4 t + c 3 - cos ⁡ 2 t 0 2 sin ⁡ 2 t e 4 t