Nessa questão ele pede para achar a solução geral do sistema dado

d x / d t = 2 x + y + 2 z

dy/dt = 3x + 6z

dz/dt = -4x - 3z

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para acharmos a solução geral do sistema, dado que

d x d t = 2 x + y + 2 z

d y d t = 3 x + 6 z

d z d t = - 4 x - 3 z

Lembrando que para essa questão vale a pena nos lembrar da fórmula de autovalor que é,

det ⁡ A - λ I = 0

Passo 2

Sabendo que,

d x d t = 2 x + y + 2 z

d y d t = 3 x + 6 z

d z d t = - 4 x - 3 z

Temos que, usando a fórmula de autovalor

2 1 2 3 0 6 - 4 0 - 3 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

2 - λ 1 2 3 - λ 6 - 4 0 - 3 - λ

Realizando a multiplicação vamos ter que

( λ + 3 ) ( λ 2 - 2 λ + 5 ) = 0

λ 3 - 2 λ 2 + 5 λ + 3 λ 2 - 6 λ + 15 = 0

λ 1 = - 3                   e                 λ 2 = 1 + 2 i

Com isso, temos

k 2 = 0 - 2 1                                                   k 2 = - 2 - i - 2 - 3 i 2

Obtendo,

x 2 = - 2 cos ⁡ 2 t + sin ⁡ 2 t - 2 cos ⁡ 2 t + 3 sin ⁡ 2 t 2 cos ⁡ 2 t e t + i - cos ⁡ 2 t - 2 sin ⁡ 2 t - 3 cos ⁡ 2 t - 2 sin ⁡ 2 t 2 sin ⁡ 2 t e 2

Ficando com

x = c 1 0 - 2 1 e - 3 t + c 2 - 2 cos ⁡ 2 t + sin ⁡ 2 t - 2 cos ⁡ 2 t + 3 sin ⁡ 2 t 2 cos ⁡ 2 t e t + c 3 - cos ⁡ 2 t - 2 sin ⁡ 2 t - 3 cos ⁡ 2 t - 2 sin ⁡ 2 t 2 sin ⁡ 2 t e t

Resposta

x = c 1 0 - 2 1 e - 3 t + c 2 - 2 cos ⁡ 2 t + sin ⁡ 2 t - 2 cos ⁡ 2 t + 3 sin ⁡ 2 t 2 cos ⁡ 2 t e t + c 3 - cos ⁡ 2 t - 2 sin ⁡ 2 t - 3 cos ⁡ 2 t - 2 sin ⁡ 2 t 2 sin ⁡ 2 t e t