Nessa questão ele pede para achar a solução geral do sistema dado

X ' = 1 - 1 2 - 1 1 0 - 1 0 1 X

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para acharmos a solução geral do sistema, dado que

X ' = 1 - 1 2 - 1 1 0 - 1 0 1 X

Lembrando que para essa questão vale a pena nos lembrar da fórmula de autovalor que é,

det ⁡ A - λ I = 0

Passo 2

Sabendo que,

X ' = 1 - 1 2 - 1 1 0 - 1 0 1 X

Temos que, usando a fórmula de autovalor

1 - 1 2 - 1 1 0 - 1 0 1 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

1 - λ - 1 2 - 1 1 - λ 0 - 1 0 1 - λ

Realizando a multiplicação vamos ter que

( 1 - λ ) ( λ 2 - 2 λ + 5 ) = 0

λ 2 - 2 λ + 2 - λ 3 + 2 λ 2 - 2 λ = 0 → λ 3 + 3 λ 2 - 4 λ + 2

λ 1 = 1                   e                 λ 2 = 1 + i

Com isso, temos

k 2 = 0 2 1                                                   k 2 = 1 1 1

Obtendo,

x 2 = 1 1 1 e 1 + i t = cos ⁡ t - sin ⁡ t - sin ⁡ t e t + i sin ⁡ t cos ⁡ t cos ⁡ t e t

Ficando com

x = c 1 0 2 1 e - 3 t + c 2 cos ⁡ t - sin ⁡ t - sin ⁡ t e t + c 3 sin ⁡ t cos ⁡ t cos ⁡ t e t

Resposta

x = c 1 0 2 1 e - 3 t + c 2 cos ⁡ t - sin ⁡ t - sin ⁡ t e t + c 3 sin ⁡ t cos ⁡ t cos ⁡ t e t