Nessa questão ele pede para resolver, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemáticas ou por determinantes

(D^2 + 5)x - 2y = 0

-2 * x + (D^2 + 2) * y = 0

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para resolvermos o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou determinante, sabendo que

D 2 + 5 x - 2 y = 0

- 2 x + D 2 + 2 y = 0

Lembrando que equações diferenciais por eliminação é determinada por,

a n D n + a n - 1 D n - 1 … + a 1 D + a 0 ) y = g ( t )

Já para os determinantes devemos usar

L 1 x + L 2 y = g 1 ( t )

L 3 x + L 4 y = g 2 t

Passo 2

Utilizando a eliminação sistemática e isolando y temos,

D 2 + 5 x - 2 y = 0 → y = 1 2 D 2 + 5 x

- 2 x + D 2 + 2 y = 0 , vamos ter que,

- 2 x + D 2 + 2 1 2 D 2 + 5 x = 1 2 D 2 + 5 D 2 x ,

Ficando,

D 2 + 1 . D 2 + 6 x = 0

Com isso utilizando a equação simétrica temos,

x = c 1 cos ⁡ t + c 2 sin ⁡ t + c 3 cos ⁡ 6 t + c 4 sin ⁡ 6 t

y = 2 c 1 cos ⁡ t + 2 c 2 sin ⁡ t - 1 2 c 3 cos ⁡ 6 t - 1 2 c 4 sin ⁡ 6 t

Resposta

x = c 1 cos ⁡ t + c 2 sin ⁡ t + c 3 cos ⁡ 6 t + c 4 sin ⁡ 6 t

y = 2 c 1 cos ⁡ t + 2 c 2 sin ⁡ t - 1 2 c 3 cos ⁡ 6 t - 1 2 c 4 sin ⁡ 6 t