Nessa questão ele pede para resolver, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemáticas ou por determinantes

(D^2 - 1)x - y = 0

(D - 1)x + Dy = 0

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para resolvermos o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou determinante, sabendo que

( D 2 - 1 ) x - y = 0

D - 1 x + D y = 0

Lembrando que equações diferenciais por eliminação é determinada por,

a n D n + a n - 1 D n - 1 … + a 1 D + a 0 ) y = g ( t )

Já para os determinantes devemos usar

L 1 x + L 2 y = g 1 ( t )

L 3 x + L 4 y = g 2 t

Passo 2

Dado que a equação vale,

( D 2 - 1 ) x - y = 0 D - 1 x + D y = 0

Isolando y temos,

D 2 - 1 x - y = 0 → y = D 2 - 1 x

Ficando para D y ,

y = D 2 - 1 x → D y = D 3 - 1 x ,

Substituindo em D - 1 x + D y = 0 , temos

D - 1 D 2 + D + 1 x = 0 , ficando para x

x = c 1 e t + e - t 2   c 2 + cos ⁡ 3 2 t + c 3 sin ⁡ 3 2 t

E para y

y = - 3 2 c 2 - 3 2 c 3 e - t 3 cos ⁡ 3 3 t + 3 2 c 2 - 3 2 c 3 e - t 2 sin ⁡ 3 2 t

Resposta

x = c 1 e t + e - t 2   c 2 + cos ⁡ 3 2 t + c 3 sin ⁡ 3 2 t

y = - 3 2 c 2 - 3 2 c 3 e - t 3 cos ⁡ 3 3 t + 3 2 c 2 - 3 2 c 3 e - t 2 sin ⁡ 3 2 t