Nessa questão ele pede para resolver, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemáticas ou por determinantes

(d^2/x) = 4y + e^t

(d^2y)/(dt^2) = 4x + e^t

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para resolvermos o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou determinante, sabendo que

d 2 x d t 2 = 4 y + e t

d 2 y d t 2 = 4 x + e t

Lembrando que equações diferenciais por eliminação é determinada por,

a n D n + a n - 1 D n - 1 … + a 1 D + a 0 ) y = g ( t )

Já para os determinantes devemos usar

L 1 x + L 2 y = g 1 ( t )

L 3 x + L 4 y = g 2 t

Passo 2

Dado a equação,

d 2 x d t 2 = 4 y + e t d 2 y d t 2 = 4 x + e t

Isolando y na primeira equação vamos ter que,

d 2 x d t 2 = 4 y + e t → y = 1 4 D 2 x - 1 4 e t

E para y na segunda equação temos,

D 2 y = 1 4 D 2 x - 1 4 e t

Igualando y   a   D 2 y vamos obter que,

D 2 + 4 D - 2 D + 2 x = - 3 e t

Utilizando a equação simétrica vamos ter que para x,

x = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sin ⁡ t + c 3 e t + c 4 e - 2 t + 1 5 e t

E para y,

y = c 1 cos ⁡ 2 t - c 2 sin ⁡ 2 t + c 3 e 2 t + c 4 e - 2 t - 1 5 e t

Resposta

x = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sin ⁡ t + c 3 e t + c 4 e - 2 t + 1 5 e t

y = c 1 cos ⁡ 2 t - c 2 sin ⁡ 2 t + c 3 e 2 t + c 4 e - 2 t - 1 5 e t