Nessa questão ele pede para resolver, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemáticas ou por determinantes

D^2 x + D y = t

(D + 3)x + (D + 3)y = 2

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para resolvermos o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou determinante, sabendo que

D 2 x + D y = t

D + 3 x + D + 3 y = 2

Lembrando que equações diferenciais por eliminação é determinada por,

a n D n + a n - 1 D n - 1 … + a 1 D + a 0 ) y = g ( t )

Já para os determinantes devemos usar

L 1 x + L 2 y = g 1 ( t )

L 3 x + L 4 y = g 2 t

Passo 2

Dado que a equação vale,

D 2 x + D y = t D + 3 x + D + 3 y = 2

Realizando a manipulação da segunda equação vamos ter que,

D D + 1 D + 3 x = 1 + 3 t

E substituindo na primeira obtemos que,

D D + 1 D + 3 x = - 1 - 3 t

Ficando, para x

x = c 1 + c 2 e - t + c 3 e - 3 t - t + 1 2 t 2

E para y

Substituindo em D + 3 x + D + 3 y = 2       e     D 2 x - D y = t ,

3 ( c 1 + c 4 ) + 2 c 2 + c 5 e - t = 2

D 2 x - D y = t → c 2 + c 5 e - t + 3 3 c 3 + c 6 e - 3 t = 0 , para o qual, c 4 = - c 1 ,   c 5 = - c 2     e     c 6 = - 3 c 3

Ficando,

y = - c 1 - c 2 e - t - 3 c 3 e - 3 t + t - 1 2 t 2

Resposta

y = - c 1 - c 2 e - t - 3 c 3 e - 3 t + t - 1 2 t 2