Nessa questão ele pede para resolver, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemáticas ou por determinantes

(d x / d t) + (d y / d t) = e^t

- (d^2x)/(dt^2) + (dx)/(dt) + x + y = 0

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para resolvermos o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou determinante, sabendo que

d x d t + d y d t = e t

- d 2 x d t 2 + d x d t + x + y = 0

Lembrando que equações diferenciais por eliminação é determinada por,

a n D n + a n - 1 D n - 1 … + a 1 D + a 0 ) y = g ( t )

Já para os determinantes devemos usar

L 1 x + L 2 y = g 1 ( t )

L 3 x + L 4 y = g 2 t

Passo 2

Sabendo que as equações dadas valem,

d x d t + d y d t = e t - d 2 x d t 2 + d x d t + x + y = 0

Simplificando a segunda equação temos que,

- d 2 x d t 2 + d x d t + x + y = 0 → d 2 + d + 1 x + y = 0

E isolando y temos,

y = d 2 - d - 1 x , ficando d y

d y = d 3 - d 2 - d x

Substituindo na primeira equação temos,

d 2 d - 1 x = e t

Ficando em x,

x = c 1 + c 2 t + c 3 e t + t e t

E para y,

y = - c 1 - c 2 - c 2 t - c 3 e t - t e t + e t

Resposta

x = c 1 + c 2 t + c 3 e t + t e t

y = - c 1 - c 2 - c 2 t - c 3 e t - t e t + e t