Nessa questão ele pede para resolver, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemáticas ou por determinantes

D x + D 2 = e 3 t

D + 1 x + D - 1 y = 4 e 3 t

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para resolvermos o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou determinante, sabendo que

D x + D 2 = e 3 t

D + 1 x + D - 1 y = 4 e 3 t

Lembrando que equações diferenciais por eliminação é determinada por,

a n D n + a n - 1 D n - 1 … + a 1 D + a 0 ) y = g ( t )

Já para os determinantes devemos usar

L 1 x + L 2 y = g 1 ( t )

L 3 x + L 4 y = g 2 t

Passo 2

Dado que a equação vale,

D x + D 2 = e 3 t D + 1 x + D - 1 y = 4 e 3 t

Realizando a manipulação da segunda equação vamos ter que,

D + 1 x + D - 1 y = 4 e 3 t

Substituindo na primeira equação vamos obter que,

D + 1 x D - 1 y = 4 ( D x + D 2 y )

Ficando,

D D 2 + 1 x = 34 e 3 t           e             D D 2 + 1 y = - 8 e 3 t

Passo 3

Realizando a equação simétrica obtemos para y

y = c 1 + c 2 sin ⁡ t + c 3 cos ⁡ t - 4 15 e 3 t

E para x

x = c 4 + c 5 sin ⁡ t + c 6 cos ⁡ t + 17 15 e 3 t

substituindo D + 1 x + D - 1 y = 4 e 3 t temos,

c 4 - c 1 + c 5 - c 6 - c 3 - c 2 sin ⁡ t + c 6 + c 5 + c 2 - c 3 cos ⁡ t = 0

Para c 4 = c 1 ,     c 5 = c 3 ,   c 6 = - c 2 ficando

x = c 1 - c 2 cos ⁡ t + c 3 sin ⁡ t + 17 15 e 3 t

Resposta

x = c 1 - c 2 cos ⁡ t + c 3 sin ⁡ t + 17 15 e 3 t