Nessa questão ele pede para resolver, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemáticas ou por determinantes

(d²x / dt²) + (dy / dt) = -5x

dx/dt + dy/dt = -x + 4y

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para resolvermos o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou determinante, sabendo que

d 2 x d t 2 + d y d t = - 5 x

d x d t + d y d t = - x + 4 y

Lembrando que equações diferenciais por eliminação é determinada por,

a n D n + a n - 1 D n - 1 … + a 1 D + a 0 ) y = g ( t )

Já para os determinantes devemos usar

L 1 x + L 2 y = g 1 ( t )

L 3 x + L 4 y = g 2 t

Passo 2

Tendo sido dado que a equação vale,

d 2 x d t 2 + d y d t = - 5 x d x d t + d y d t = - x + 4 y

Realizando a manipulação da primeira equação vamos ter que,

d 2 x d t 2 + d y d t = - 5 x → d 2 x d t 2 + d y d t + 5 x = 0  

d x d t + d y d t = - x + 4 y →   d x d t + d y d t + x - 4 y = 0

Com isso vamos ter que,

d 2 x d t 2 + d y d t + 5 x = 0 → D - 5 . D 2 + 4 x = 0

Substituindo na segunda equação vamos ter que,

D - 5 . D 2 + 4 y , ficando para x

x = c 1 e 5 t + c 2 cos ⁡ 2 t + c 3 sin ⁡ 2 t     e para y

y = c 4 e 5 t + c 5 cos ⁡ 2 t + c 6 sin ⁡ 2 t

Substituindo em D + 1 x . D - 4 y = 0 , temos

6 c 1 + c 4 e 5 t + c 2 + 2 c 3 - 4 c 5 + 2 c 6 cos ⁡ 2 t + - 2 c 2 + c 3 - 2 c 5 - 4 c 6 sin ⁡ 2 t = 0

E como,

c 4 = 6 c 1

c 5 = 1 2 c 3

c 6 = 1 2 c 2 , ficando

y = - 6 c 1 e 5 t + 1 2 c 3 cos ⁡ 2 t - 1 2 c 2 sin ⁡ 2 t

Resposta

y = - 6 c 1 e 5 t + 1 2 c 3 cos ⁡ 2 t - 1 2 c 2 sin ⁡ 2 t