Nesta questão 27 a figura dada na questão mostra uma parte do gráfico da função f definida por : f x = s e n   1 x   s e   x ≠ 0 para x = 1 n π com n sendo um número inteiro, temos s e n   1 x = s e n   n π = 0

A função cresce até atingir o valor de +1 e decresce até tomar o valor zero e anula até -1 e volta a crescer até atingir 0 entre qualquer um desses pontos e a origem, a curva tem infinita oscilações, isso sugere que os valores da função não se aproximam de nenhum valor fixo quando x → 0  

Prove que não existe nenhum valor real A tal que f x → A   quando x → 0

Passo 1

Primeiro passo aqui com os dados fornecidos pela questão podemos adotar que :

f X - A = s e n 1 x - A , deixando x = 1 n π

Assim vamos ter,

f X - A │ = │ s e n   n π - A > s e n   n π │ -   │ A │ >   │ 1 - │ A │ │

Passo 2

Agora vamos considerar ,

x - 0 │ = │ x │ = 1 n π   ≤   δ n e o ∈ 0 = │ 1 - │ A │ │ 2

Com isso se supormos que,

δ n ≥   │ x - 0 │ mas o │ f x - A │ >   ∈ 0

Então haverá contradição

Resposta

δ n ≥   │ x - 0 │ mas o │ f x - A │ >   ∈ 0

haverá contradição