Nesta questão seja f uma função tal que │ f(u) - f(v) ≤ |u - v| para todos os valores de u e v no intervalo [a,b]

Passo 1

O que vamos ter que provar aqui é que f é contínua em cada ponto de [ a , b ]

Então vamos considerar x 0 ∈ [ a , b ]

A partir daí devo escolher o ∈ 0 que vai ficar variar de

0 <   ∈   < min ⁡ b - x 0 ,     x 0 - a ≠ 0

Sendo que x 0 pode ser a ou b

Passo 2

Agora considere, sem perda de generalidade, apenas x tal que x ∈ [ a , b ]

Assim,

│ f x - f x 0 │ ≤   │ x - x 0 │

Com isso,

δ 0 = δ ∈ 0 , x 0 =   ∈ 0   →   │ f x - f x 0 │ <     ∈ 0  

Aí já que não especificamos x 0 , então

∀ x 0 ∈ a , b , com f contínuo em x 0

Resposta

∀ x 0 ∈ a , b , com f contínuo em x 0