Nesta questão seja f uma função tal que │ f u - f v │ ≤   │ u - v │ para todos os valores de u e v no intervalo [a,b]

Passo 1

Nesta questão vamos ter que supor f é integravel em a , b , provando que

│ ∫ a b f x d x - b - a   f a │ ≤   b - a 2 2

Passo 2

∫ a b f x d x - b - a   f a │ =   │ ∫ a b f x - f a   d x   │ ≤   ∫ a b │ f x - f a │ d x ≤   ∫ a b │ x - a   │ d x = 1 2 x 2 - a x │ a b = 1 2   b - a b + a - a b - a = b - a 2 2

Resposta

1 2   b - a b + a - a b - a = b - a 2 2