Nesta questão seja f uma função tal que │ f u - f v │ ≤   │ u - v │ para todos os valores de u e v no intervalo [a,b]

Passo 1

Nesse exercício vamos ter que demonstrar uma propriedade mais geral

│ ∫ a b f x d x = b - a f c │ ≤ b - a 2 2

│ ∫ a b f x d x = b - a f c │ =   │   ∫ a b f x - f c d x │ ≤   ∫ a b │ f x - f c │ d x ≤   ∫ a b │ x - c │ d x =   ∫ a c c - x d x +   ∫ c b x - c d x = c c - a - 1 2   c - a c + a + 1 2   b - c b + a - c b - c = 1 2 ( c - a 2 + b - c 2 )

Passo 2

Agora você deve comparar o trapézio de c - a ,   b - a como a base do triângulo retângulo b - a , assim:

1 2 b - c b - a + c - a = 1 2 b - c b - c + 2 c - a > 1 2 b - c 2

Passo 3

Assim o trapézio c - a é igual ao trapézio b - a   uma vez que ,

1 2 b - c b - a + c - a + 1 2 c - a 2 = 1 2 b 2 - c 2 - 2 a b + 2 a c + c 2 - 2 c a + a 2 = 1 / 2 b - a 2

1 2   b - a 2 > 1 2   b - a 2 + 1 2   c - a 2

Resposta

1 2   b - a 2 > 1 2   b - a 2 + 1 2   c - a 2