Neste exercício está delineada uma demonstração do teorema do valor intermediário para derivadas. Admitamos que f possui derivada em todo o ponto do intervalo aberto I. Escolhamos a < b e m I: Então a derivada f' toma todos valores compreendidos entre f'(a) e f'(b) e (a, b).

(a).Definir uma nova função g em [a, b] do modo seguinte:

g(x) = (f(x) - f(a)) / (x - a), se x ≠ a, g(a) = f'(a)

Demonstrar que g toma qualquer valor compreendido entre f'(a) e g(b) no intervalo aberto (a, b) . Utilizar o teorema de Lagrange, para demonstrar que f' toma qualquer valor compreendido entre f'(a) e g(b) no intervalo aberto (a, b) .

(b).Definir uma nova função tal que:

h(x) = (f(x) - f(b)) / (x - b), se x ≠ b, h(b) = f'(b)

Raciocinando de forma análoga à que seguiu na alínea (a), demonstrar que f' toma qualquer valor compreendido entre f'(b) e h(a, b) . Uma vez que h(a) = g(b) , fica demonstrado o teorema.

Passo 1

Bom, vamos começar o item (a) vendo o que temos:

Sabemos pelo enunciado que f   é contínua em [ a , b ] e diferenciável em ( a , b ) . Então para x ∈ [ a , b ] e x ≠ a temos que g é contínua em x (pela definição de g), queremos mostrar que g é contínua em [ a , b ] para aplicarmos o teorema do valor intermediário.

Falta provarmos que g é contínua nos extremos, já q é contínua para um x   ∈ ( a , b ) .

lim x → a ⁡ g x = lim x → a ⁡ f x - f ( a ) x - a = f ' a = g a

Ou seja, g x é contínua em a, podemos fazer o mesmo procedimento para b, então g é contínua em a e b, além de ser contínua no intervalo deles.

Logo g é contínua em [ a , b ] .

Então pelo teorema do valor médio, g “toma” todos valores entre g a   e   g b ,   c o m o   g a = f ' a ,   e n t ã o   i s s o   j á   p r o v a   n o s s a   p r i m e i r a   p a r t e

Passo 2

Agora vamos usar o teorema de Lagrange para demonstrar f ' toma qualquer valor entre f ' a   e   g b   n o   i n t e r v a l o   ( a , b ) .

f ' c = f x - f ( a ) x - a   ,   p a r a   a l g u m   c ∈ a , x ,   s e n d o   x < b

E n t ã o   g x = f ' ( c )

Então há um c   ∈ a , b   t a l   q u e   f ' c = g ( x )

Logo, como g toma todos valores entre f ' a   e   g b ,   f ' t a m b é m .

Passo 3

Vamos agora olhar para o item b.

Usaremos o mesmo argumento para falar que h é contínua em [ a , b ] , da mesma forma h toma todos valores entre h a   e   f ' ( b )

Ou seja, para algum c   ∈ x , b ,   u s a n d o   o   t e o r e m a   d o     v a l o r   i n t e r m e d i á r i o :

f ' c = f x - f b x - b   = h x

Então f ' toma todos valores entre h a   e   f ' ( b ) . Enquanto

h a = g b ,   e n t ã o   f ' t o m a   t o d o s   v a l o r e s   e n t r e   f ' a   e   f ' b .

Resposta

Demonstração