Neste exercício está delineada uma demonstração do teorema do valor intermediário para derivadas. Admitamos que possui derivada em todo o ponto do intervalo aberto I. Escolhamos Então a derivada toma todos valores compreendidos entre
(a).Definir uma nova função em do modo seguinte:
Demonstrar que g toma qualquer valor compreendido entre no intervalo aberto . Utilizar o teorema de Lagrange, para demonstrar que toma qualquer valor compreendido entre no intervalo aberto
(b).Definir uma nova função tal que:
Raciocinando de forma análoga à que seguiu na alínea (a), demonstrar que toma qualquer valor compreendido entre . Uma vez que , fica demonstrado o teorema.
Passo 1
Bom, vamos começar o item (a) vendo o que temos:
Sabemos pelo enunciado que é contínua em e diferenciável em . Então para e temos que g é contínua em x (pela definição de g), queremos mostrar que g é contínua em para aplicarmos o teorema do valor intermediário.
Falta provarmos que g é contínua nos extremos, já q é contínua para um .
Ou seja, é contínua em a, podemos fazer o mesmo procedimento para b, então g é contínua em a e b, além de ser contínua no intervalo deles.
Logo g é contínua em .
Então pelo teorema do valor médio, g “toma” todos valores entre
Passo 2
Agora vamos usar o teorema de Lagrange para demonstrar toma qualquer valor entre .
Então há um
Logo, como g toma todos valores entre
Passo 3
Vamos agora olhar para o item b.
Usaremos o mesmo argumento para falar que é contínua em , da mesma forma h toma todos valores entre
Ou seja, para algum
Então toma todos valores entre . Enquanto
Resposta
Demonstração