Neste exercício ele pede para encontrar :

a) determinar todos pontos de x tais que f ´ x = 0

b) analisar o sinal de f ´ e determinar intervalos onde f ´ é monótona

c) analisar o sinal de f ´ ´   e determinar os intervalos onde f   é monótona

Passo 1

Falaaaa meu brother, tudo blz ?

Então primeiro vamos na letra (a) vamos ter que derivar o f x = 1 6 x 2 + 1 12 c o s ⁡ ( 2 x ) ,

f ´ x = 1 3 x - s e n 2 x 6 f ´ x = 0

Passo 2

Já na letra (b) vamos analisar a a função derivada chegando

f ´ ⪑ 0 ,         p a r a       x ⪑ 0

Passo 3

E na letra ( c ) para finalizarmos vamos derivar a função mais uma vez para determnar os intervalos,

f ´ ´ x = 1 3 - c o s 2 x 3 = 1 - cos ⁡ 2 x 3

Assim,

x = π n       p a r a   x ≠ π n

Resposta

a)   f ´ x = 1 3 x - s e n 2 x 6 f ´ x = 0

b)     f ´ ⪑ 0 ,         p a r a       x ⪑ 0

c) f ´ ´ x = 1 3 - c o s 2 x 3 = 1 - cos ⁡ 2 x 3 x = π n       p a r a   x ≠ π n