Neste exercício ele pede para encontrar :

a) determinar todos pontos de x tais que f´(x) = 0

b) analisar o sinal de f' e determinar intervalos onde f' é monótona

c) analisar o sinal de f´´ e determinar os intervalos onde f é monótona

Passo 1

Falaaaa meu brother, tudo blz ?

Então primeiro vamos na letra (a) vamos ter que derivar o f x = x + c o s ⁡ ( x ) ,

f ´ x = 1 - s e n ( x )

Sendo f ´ x = 0 →   1 - s e n ( x ) = 0   x = π 2 + 2 π n  

Passo 2

Já na letra (b) vamos analisar a a função derivada chegando

f ´ > 0 ,               p a r a       x ≠ π 2 + 2 π n

Passo 3

E na letra ( c ) para finalizarmos vamos derivar a função mais uma vez para determnar os intervalos,

f ´ ´ x = - c o s   x

Com isso,

f ´ ´ > 0       q u a n d o   - π 2 + 2 π n < x < π 2 + 2 π n  

f ´ ´ < 0       q u a n d o     π 2 + 2 π n < x < 3 π 2 + 2 π n  

Resposta

a) x = π 2 + 2 π n  

b) f ´ > 0 ,               p a r a       x ≠ π 2 + 2 π n

c) f ´ ´ > 0       q u a n d o   - π 2 + 2 π n < x < π 2 + 2 π n  

f ´ ´ < 0       q u a n d o     π 2 + 2 π n < x < 3 π 2 + 2 π n