Neste exercício ele pede para encontrar :

a) determinar todos pontos de x tais que f'(x) = 0

b) analisar o sinal de e determinar intervalos onde f' é monótona

c) analisar o sinal de f'' e determinar os intervalos onde f é monótona

Passo 1

Falaaaa meu brother, tudo blz ?

Então primeiro vamos na letra (a) vamos ter que derivar o f x = x - s e n ( x ) ,

f ´ x = 1 - cos ⁡ x

Sendo f ´ x = 0 →   1 - cos ⁡ x = 0   x = 2 π n  

Passo 2

Já na letra (b) vamos analisar a a função derivada chegando

f ´ > 0 ,               p a r a   x ≠ 2 π n

Passo 3

E na letra ( c ) para finalizarmos vamos derivar a função mais uma vez para determnar os intervalos,

f ´ ´ x = s e n   x

Com isso,

f ´ ´ > 0       q u a n d o     2 π n < x < 2 π n + π  

f ´ ´ < 0       q u a n d o     2 π n + π < x < 2 π ( n + 1 )  

Resposta

a) x = 2 π n

b)   f ´ > 0 ,               p a r a   x ≠ 2 π n

c) f ´ ´ > 0       q u a n d o     2 π n < x < 2 π n + π  

f ´ ´ < 0       q u a n d o     2 π n + π < x < 2 π ( n + 1 )