Na notação do Exercício 12, calcule a força de fluido num dos lados de R se estiver orientada como na Figura 13(A). É possível que seja necessário usar integração por partes e substituição trigonométrica.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Colocando a origem no canto inferior esquerdo da placa, como a superfície do fluido está na altura y = 1 , a faixa horizontal na altura y está a uma profundidade de 1 - y . Além disso, esta faixa tem uma largura de

π 2 - sin - 1 ⁡ y = cos - 1 ⁡ y

Portanto,

F = w ∫ 0 1 1 - y cos - 1 ⁡ y   d y

Começando com a integração por partes, encontramos

∫ 0 1 1 - y cos - 1 ⁡ y   d y = y - 1 2 y 2 cos - 1 ⁡ y 0 1 + ∫ 0 1 y - 1 2 y 2 1 - y 2   d y

Passo 2

Resolvendo esta integral, nós temos que

∫ 0 1 1 - y cos - 1 ⁡ y   d y = 1 2 cos - 1 ⁡ 1 + ∫ 0 1 y - 1 2 y 2 1 - y 2   d y

Desenvolvendo a integral, nós temos que

∫ 0 1 1 - y cos - 1 ⁡ y   d y = ∫ 0 1 y 1 - y 2 d y - 1 2 ∫ 0 1   y 2 1 - y 2   d y

Com isso, nós temos que

∫ 0 1 y 1 - y 2   d y = - 1 - y 2 0 1 = 1

Para a integral restante, usamos a substituição trigonométrica y = sin ⁡ θ ,   d y = cos ⁡ θ d θ e encontrando

1 2 ∫ 0 1   y 2 1 - y 2   d y = 1 2 ∫ 0 1 sin 2 ⁡ θ d θ = 1 4 θ - sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 1

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

1 2 ∫ 0 1   y 2 1 - y 2   d y = 1 4 sin - 1 ⁡ y - y 1 - y 2 0 1 = π 8

Finalmente,

F = 1 - π 8 w

O que nos dá aproximadamente

F ≈ 85   l b

Resposta

F ≈ 85   l b