1 Para obter alguma ideia dos perigos possíveis de pequenos erros nas condições iniciais, tal como os devidos a arredondamentos, considere o problema de valor inicial:

y' = t + y - 3

  1. Mostre que a solução é y(t) = φ₁(t) = 2 - t
  2. Suponha que há um erro na condição inicial e é utilizado o valor de 2,001 em vez de 2. Determine a solução y(y) = ϕ_2(t) nesse caso e compare a diferença ϕ₂(t) - ϕ₁(t) em t=1 e t -> infinito

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Antes de tudo, podemos fazer:

y ' - y = t - 3

Temos que a função é do tipo:

d y d t + P y = Q

Podemos fazer:

ρ d y d x + ρ P y = ρ Q

Então impomos a condição:

ρ d y d x + ρ P y = d d x ρ y

Assim temos que:

d ρ d x = ρ P → d ρ ρ = p d x

Integrando de ambos os lados, teremos:

ln ⁡ ρ = ∫ P d x + ln ⁡ c

ρ = ± C e ∫ P d x

Como não necessitamos mais da função geral, podemos fazer ± C = 1 e usar:

ρ = e ∫ P d x

Esta técnica é chamada fator integrante.

Assim temos:

ρ y = ∫ ρ Q d x + C

Agora basta-nos aplicar essa técnica na resolução dessa EDO:

Passo 2

Assim, façamos:

P = - 1

Q = t - 3

Assim:

ρ = e ∫ - 1   d t = e - t

E:

e - t y = ∫ e - t t - 3 d t + C

e - t y = ∫ e - t t   d t - ∫ e - t 3   d t   + C

Façamos:

e - t d t = d v

t = u

- e - t t - ∫ e - t d t

- e - t t + 1

E:

∫ e - t 3 d t = - 3 e - t

Assim:

e - t y = - e - t t + 1 + 3 e - t + C

y t = - t + 1 + 3 + C e t

y t = - t + 2 + C e t

É nos dado que y 0 = 2

y 0 = 2 = 2 + C → C = 0

Assim remos a solução final ϕ 1 t = 2 - t

Passo 3

Para ϕ 2 t

y 0 = 2,001 = 2 + C → 0,001

Assim ficando:

ϕ 2 t = 2 - t + 0,001 e t

E a diferença ϕ 2 - ϕ 1 no ponto t=1

ϕ 1 1 = 1

ϕ 2 1 = 1 + 0,001 e

E para t → ∞

ϕ 1 = - ∞

ϕ 2 = 2 - ∞ + 0,001 e ∞

Resposta

E a diferença ϕ 2 - ϕ 1 no ponto t=1

ϕ 1 1 = 1

ϕ 2 1 = 1 + 0,001 e

E para t → ∞

ϕ 1 = - ∞

ϕ 2 = 2 - ∞ + 0,001 e ∞