Os osciladores não amortecidos são impulsionados na ressonância possuem soluções incomuns (e não físicas).
(a) Para investigar isso, ache a solução síncrona para a equação genérica do oscilador forçado
(b) Desenhe os gráficos para os coeficientes e , como funções de , para , e .
(c) Agora, defina em suas fórmulas para e e desenhe de novo os gráficos do item (b), com e . O que acontece em ? Observe que as amplitudes das soluções síncronas crescem sem limite quando aproxima-se de 5.
(d) Mostre que diretamente, substituindo a forma na Equação (7), que quando não existem soluções síncronas se .
(e) Verifique que resolve a Equação (7) quando e . Observe que essa solução não síncrona cresce com o tempo, sem limite.
Passo 1
Faaalaa, meu querido/minha querida. Nesta questão temos que resolver um monte de coisa, mas vamos com calma, uma por uma que dará tudo certo.
Praticamente as letras (b) em diante será sobre a letra (a), então tenhamos tranquilidade!! Hahaha
Passo 2
Na letra (a), o que temos que fazer é resolver uma EDO de coeficientes indeterminados, o enunciado já nos deu a solução. Basta encontrarmos os valores de e .
Vamos derivar a solução para aplica-la na EDO e comparar os coeficientes.
Aplicando na EDO.
Igualando os coeficientes encontramos as seguintes equações:
Resolvendo as equações.
Substituindo na primeira equação.
Então é:
Passo 3
Os gráficos que representam a solução para os seguintes valores: , e .
Gráfico em função de :

Gráfico em função de :

Passo 4
Repetindo o passo 2, mas agora com , temos:
Gráfico para :

Gráfico para :

Quando se aproxima de o denominador de fica cada vez menor, portanto, tende ao infinito quando tende a 5.
Passo 5
As funções que temos são:
Então, quando , será zero também. Quando o denominador de tende a zero, e tende ao infinito. Portanto, esse sistema não tem uma solução síncrona.
Passo 6
A solução que ele pede para nós verificarmos é:
Substituindo na EDO, abaixo:
Substituindo que é equivalente a .
Então, a função é uma solução assíncrona da EDO.