Os osciladores não amortecidos são impulsionados na ressonância possuem soluções incomuns (e não físicas).

(a) Para investigar isso, ache a solução síncrona A(Ωt) + B sen(Ωt) para a equação genérica do oscilador forçado

7 + m * y'' + b * y' + k * y = cos(Ωt)

(b) Desenhe os gráficos para os coeficientes A e B , como funções de Ω , para m = 1 , b = 0,1 e k = 25 .

(c) Agora, defina b = 0 em suas fórmulas para A e B e desenhe de novo os gráficos do item (b), com m = 1 e k = 25 . O que acontece em Ω = 5 ? Observe que as amplitudes das soluções síncronas crescem sem limite quando Ω aproxima-se de 5.

(d) Mostre que diretamente, substituindo a forma A(Ωt +) B sen(Ωt) na Equação (7), que quando b = 0 não existem soluções síncronas se Ω = raiz(k / m) .

(e) Verifique que (2mΩ)^(-1) t sen(Ωt) resolve a Equação (7) quando b = 0 e Ω = raiz(k / m) . Observe que essa solução não síncrona cresce com o tempo, sem limite.

Passo 1

Faaalaa, meu querido/minha querida. Nesta questão temos que resolver um monte de coisa, mas vamos com calma, uma por uma que dará tudo certo.

Praticamente as letras (b) em diante será sobre a letra (a), então tenhamos tranquilidade!! Hahaha

Passo 2

Na letra (a), o que temos que fazer é resolver uma EDO de coeficientes indeterminados, o enunciado já nos deu a solução. Basta encontrarmos os valores de A e B .

Vamos derivar a solução para aplica-la na EDO e comparar os coeficientes.

y = A cos ⁡ Ω t + B   s e n   Ω t

y ' = - Ω A sen ⁡ Ω t + Ω B   c o s   Ω t

y ' ' = - Ω 2 A sen ⁡ Ω t + Ω 2 B   c o s   Ω t

Aplicando na EDO.

m y ' ' + b y ' + k y = cos ⁡ Ω t

m - Ω 2 A sen ⁡ Ω t + Ω 2 B   c o s   Ω t + b - Ω A sen ⁡ Ω t + Ω B   c o s   Ω t + k A cos ⁡ Ω t + B   s e n   Ω t = cos ⁡ Ω t

- A m Ω 2 + B b Ω + A k cos ⁡ Ω t + - B m Ω 2 - A b Ω + B k s e n   Ω = cos ⁡ Ω t

Igualando os coeficientes encontramos as seguintes equações:

- A m Ω 2 + B b Ω + A k = 1

- B m Ω 2 - A b Ω + B k = 0

Resolvendo as equações.

B - m Ω 2 + k = A b Ω

B = A b Ω - m Ω 2 + k

Substituindo na primeira equação.

- A m Ω 2 + A b 2 Ω 2 - m Ω 2 + k + A k = 1

A - m Ω 2 + b 2 Ω 2 - m Ω 2 + k + k = 1

A - m Ω 2 + k 2 + b 2 Ω 2 - m Ω 2 + k = 1

A = - m Ω 2 + k - m Ω 2 + k 2 + b 2 Ω 2

Então B é:

B = b Ω - m Ω 2 + k 2 + b 2 Ω 2

Passo 3

Os gráficos que representam a solução para os seguintes valores: m = 1 , b = 0,1 e k = 25 .

Gráfico em função de A :

Gráfico em função de B :

Passo 4

Repetindo o passo 2, mas agora com b = 0 , temos:

Gráfico para A :

Gráfico para B :

Quando Ω se aproxima de 5 o denominador de A fica cada vez menor, portanto, A tende ao infinito quando Ω tende a 5.

Passo 5

As funções que temos são:

A = - m Ω 2 + k - m Ω 2 + k 2 + b 2 Ω 2

B = b Ω - m Ω 2 + k 2 + b 2 Ω 2

Então, quando b = 0 , B será zero também. Quando Ω = k / m o denominador de A tende a zero, e A tende ao infinito. Portanto, esse sistema não tem uma solução síncrona.

Passo 6

A solução que ele pede para nós verificarmos é:

y = 2 m Ω - 1 t s e n   Ω t

y ' = 2 m Ω - 1 s e n   Ω t + Ω t c o s   Ω t

y ' ' = 2 m Ω - 1 ( 2 Ω cos ⁡ Ω t - Ω 2 t s e n   Ω t )

Substituindo na EDO, abaixo:

m y ' ' + k y = cos ⁡ Ω t

m 2 m Ω - 1 ( 2 Ω cos ⁡ Ω t - Ω 2 t s e n   Ω t ) + k 2 m Ω - 1 t s e n   Ω t = cos ⁡ Ω t

2 Ω - 1 ( 2 Ω cos ⁡ Ω t - Ω 2 t s e n   Ω t ) + k 2 m Ω - 1 t s e n   Ω t = cos ⁡ Ω t

Substituindo k = m Ω 2 que é equivalente a Ω = k / m .

2 Ω - 1 ( 2 Ω cos ⁡ Ω t - Ω 2 t s e n   Ω t ) + m Ω 2 2 m Ω - 1 t s e n   Ω t = cos ⁡ Ω t

2 Ω - 1 ( 2 Ω cos ⁡ Ω t - Ω 2 t s e n   Ω t ) + 2 Ω - 1 Ω 2 t s e n   Ω t = cos ⁡ Ω t

cos ⁡ Ω t = cos ⁡ Ω t

0 = 0

Então, a função é uma solução assíncrona da EDO.

Resposta

A = - m Ω 2 + k - m Ω 2 + k 2 + b 2 Ω 2

B = b Ω - m Ω 2 + k 2 + b 2 Ω 2