Enunciado

Uma outra mola cuja constante é 20 N m é suspensa do mesmo suporte rígido, mas paralelamente ao sistema massa-mola do problema 6. Uma massa de 20   K g é presa a segunda mola e ambas são soltas inicialmente da posição de equilíbrio a uma velocidade 10 m s para cima.

  1. Qual massa exibirá maior amplitude de movimento?
  2. Qual massa estarás se movimento mais rápido em t = π 4     s ? E em t = π 2     s ?
  3. Em que instante as duas massas estarão na mesma posição? Onde estarão as massas nesse instante? Em que sentido estarão se movendo?

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Seguinte, se caiu aqui de paraquedas, no problema 6 nós achamos a frequência e a constante k da mola, da EDO do tipo:

x ' ' + ω 2 x = 0

Onde ω 2 = k m

Relembrando que no caso do problema 6: k = 320 ; m = 20

Que EDO geral que descreve o movimento harmônico simples

Passo 2

Para a EDO da massa 2, temos:

x ' ' + 20 20 x = 0

x ' ' + ω 1 2 x = 0

Chamemos a frequência angular da mola 2 de de ω 2 .

Resolveremos ambas de modo similares, veja:

S e j a :     x ' ' + ω 1 2 x = 0               0.1         e                 x ' ' + ω 2 2 x = 0         1.1

Resolveremos a equação (0.1), mas considere (0.1) de maneira similar.

Fazendo x = e λ t ; x ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + ω 1 2 = 0                             ( 0.2 )

λ = ± i ω 1                   ( 0.3 )

Logo:

x 1 ª t = c 1 e + i ω 1 t + c 2 e - i ω 1 t                             ( 0.4 )

x 1 ª t = c 1 cos ⁡ ω 1 t + i s e n ω 1 t + c 2 cos ⁡ ω 1 t - i s e n ω 1 t                     ( 0.5 )

x 1 ª t = c 1 + c 2 cos ⁡ ω 1 t + c 1 - c 2 i   s e n ω 1 t                     ( 0.6 )

Fazendo a =   c 1 + c 2   e   b = c 1 - c 2 i

x 1 ª t = a 1 cos ⁡ ω 1 t + b 1 s e n ω 1 t                     ( 0.7 )

E de maneira similar:

x 2 ª t = a 2 cos ⁡ ω 2 t + b 2 s e n ω 2 t           ( 1.2 )

Passo 3

Para achar os valores de a 1,2   e   b 1,2 , precisamos de informações, como neste caso as condições iniciais. Veja:

Temos que:

  1. É solto da posição de equilíbrio, logo x 0 = 0
  2. É solto com velocidade 10 m s para cima, logo x ' 0 = - 10

Assim:

x 0 = 0 = a 1 = a 2

x ' 0 = - 10 = b 1 ω 1 = b 2 ω 2

Logo:

x 1 ª ( t ) = - 10 ω 1 s e n ω 1 t

x 2 ª ( t ) = - 10 ω 2   s e n ω 2 t

Relembrando: ω 1 = 320 20 ;       ω 2 = 20 20

Assim:

x 1 ª ( t ) = - 10 4   s e n 4 t

x 2 ª ( t ) = - 10   s e n ( t )

Resposta

  1. Qual tem maior amplitude?
    1. A segunda mola, de massa da mola x 2 ª terá amplitude maior

  2. Qual massa estará se movimento mais rápido em t = π 4     s ? E em t = π 2     s ?
  3. Sendo a velocidade tida como x i ' ( t )

    Logo para:

    x 1 ª ' π 4 = - 2,5   4 cos ⁡ 4   π 4 = 10 m s

    E para:

    x 2 ª ' π 4 = - 10 cos ⁡ π 4 =   - 5 2 m s

    Agora para π 2 :

    x 1 ª ' π 2 = - 10 cos ⁡ 2 π =   - 10 m s

    E para:

    x 2 ª ' π 2 = - 10 cos ⁡ π 2 = 0

    R) Para π 4 a velocidade da massa de x 1 ª terá será maior; para π 4   também.

  4. Em que instante as duas massas estarão na mesma posição? Onde estarão as massas nesse instante? Em que sentido estarão se movendo?

Façamos então:

x 1 ª t = x 2 ª t

- 10 4   s e n 4 t = - 10 s e n ( t )

1 4 s e n 4 t = s e n ( t )

1 4 s e n 4 t - 4 s e n t = 0

s e n 4 t = 4 s e n t

R) A: n π ,   n ∈ Z

A massa de x 1 ª   estará em:

x 1 ª n π = - 10 4 s e n 4 n π = 0

E de x 2 ª   t :

x 2 ª n π =   - 10   s e n n π = 0

R) B: sempre se encontrarão na posição de equilíbrio apenas.

Em que sentido?

R) C: Analisando as equações, vemos que sempre que n = p a r as massas se movem em direções iguais e ambas para baixo. Se n = i m p a r a massa de x 2 ª se move para cima, e x 1 ª se move para baixo.

Exercícios de Livros Relacionados

Um aluno está descendo de skate uma rampa de 6,0 m de comprimento e in
Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x
1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios