Enunciado

Se p4(x) for o quarto polinômio de Maclaurin de e^x , então

Passo 1

Essa questão é bem básica e aborda o conceito teórico de Polinômio de Maclaurin, tenho certeza que você, aluno do Responde Aí, vai conseguir resolver rapidinho.

Olha só, primeiro nós vamos relembrar a série de Maclaurin é um polinômio, que tem a condição de existência das derivadas sucessivas: f ’(0), f ’’(0), f ’’’(0), fn(0), ..., onde apresenta um processo de cálculo simplificado.

O polinômio de MacLaurin é um caso particular das séries de Taylor, quando x0 =0 , se obtém a seguinte série de MacLaurin:

Passo 2

Logo, primeiramente precisamos escrever até o quarto polinômio de Maclaurin, assim:

f x = f 0 + f ' 0 x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + f ' ' ' ( 0 ) 3 ! x 3 + f I V ( 0 ) 4 ! x 4

E depois basta substitui f x = e x na série, considerando:

f 0 =   e ( 0 ) = 1

f ' 0 = e ( 0 ) = 1

f ' ' 0 = e ( 0 ) 2 ! = 1 2

f ' ' ' 0 = e ( 0 ) 3 ! = 1 2 * 3 = 1 6

f ' v 0 = e ( 0 ) 43 ! = 1 2 * 3 * 4 = 1 24

Logo, a série tem os seguintes termos:

f x = 1 + 1 x + x 2 2 + 1 6 x 3 + 1 24 x 4

Passo 3

A questão pede para verificarmos se a equação abaixo é verdadeira ou falsa e 2 - p 4 ( 2 ) ≤ 9 5 !

Logo, se x=2:

f 2 = 1 + 2 + ( 2 ) 2 2 + 1 6 ( 2 ) 3 + 1 24 ( 2 ) 4 = 5

Aplicando o valor de f(2) na equação, temos:

7,389 - 5 ≤ 0,075       →       2,389 ≤ 0,075

Logo, é FALSO, pois 2,389 é maior que 0,075!!

Resposta

F a l s o

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