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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 3

Uma partícula é abandonada na posição 1,0 . Sabe-se que na posição ( x , y ) sua velocidade é

v → x , y = - x - y i → + x - y j → .

Desenhe a trajetória descrita pela partícula.

Passo 1

A partir do enunciado temos o seguinte sistema:

x ˙ = - x - y y ˙ = x - y

Temos um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1º ordem, homogêneas com coeficientes constantes.

O sistema pode ser mais facilmente decifrado se tomarmos sua forma matricial.

Então:

x ˙ y ˙ = a 11 a 12 a 21 a 22 ⏟ A .   x y

Repare que realizando a multiplicação entre as matrizes:

x ˙ = a 11 x + a 12 y y ˙ = a 21 x + a 22 y

Perceba então que no caso do nosso sistema,

A = - 1 - 1 1 - 1

Podemos obter a equação característica para o sistema, lembrando que a mesma pode ser obtida tomando:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz unitária

I = 1 0 0 1

E

λ I = λ 0 0 λ

Logo,

det ⁡ A - λ I = - 1 - λ - 1 1 - 1 - λ = 0

Passo 2

Encontramos a seguinte equação:

det ⁡ A - λ I = λ 2 + 2 λ + 2 = 0

As raízes dessa equação são denominadas “autovalores” da matriz A.

São eles então:

λ = - 2 ± 4 - 1 2 = - 1 ± 1 i

Com, a = - 1   e   b = 1

Agora, podemos obter os autovetores associados à cada autovalor, seja então v = m n e tomando λ = - 1 + i :

- 1 - - 1 + i ⏟ λ - 1 1 - 1 - - 1 + i ⏟ λ . m n = 0 0

Resolvendo essa equação matricial, chegamos ao seguinte sistema:

- i m - n = 0 m - i n = 0

Perceba que se tomarmos m = 1 então n = - i

Portanto, o autovalor λ = - 1 + i permite a seguinte solução:

x y = 1 - i e - 1 + i ⏞ λ t

Cabe aqui uma observação, por Laplace temos que:

e a ± b i t = e a t cos ⁡ b t + i sin ⁡ b t

Logo,

e - 1 + i t = e - t cos ⁡ t + i sin ⁡ t

Teremos então:

x y = 1 - i e - t cos ⁡ t + i sin ⁡ t

Desenvolvendo, podemos encontrar:

x = e - t cos ⁡ t + i sin ⁡ t y = - i e - t cos ⁡ t + i sin ⁡ t

Novamente, lembre-se de que i 2 = - 1

x = e - t cos ⁡ t + e - t   i sin ⁡ t y = e - t sin ⁡ t - e - t   i cos ⁡ t

Dessa forma a solução para o sistema pode ser:

x y = C 1 cos ⁡ t sin ⁡ t e - t + C 2 sin ⁡ t - cos ⁡ t e - t

Passo 3

Outra forma de representar essa solução:

x = C 1 e - t cos ⁡ t + C 2 e - t sin ⁡ t y = C 1 e - t sin ⁡ t - C 2 e - t cos ⁡ t

E sabendo que a partícula foi abandonada na posição ( 1,0 ) temos a seguinte condição inicial:

x 0 = 1 y 0 = 0

Aplicando essa condição na solução geral encontrada:

x ( 0 ) = C 1 e 0 cos ⁡ 0 + C 2 e 0 sin ⁡ 0 = 1 y ( 0 ) = C 1 e 0 sin ⁡ 0 - C 2 e 0 cos ⁡ 0 = 0

Resolvendo o sistema, encontramos facilmente C 1 = 1   e   C 2 = 0

Portanto, a solução para o sistema de equações diferencias assume a seguinte forma:

x y = cos ⁡ t sin ⁡ t e - t

Resposta

A posição da partícula em qualquer instante t será dada por:

x t = e - t cos ⁡ t y t = e - t sin ⁡ t

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