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Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo O x sob ação da força elástica - x   i → e de uma forma de amortecimento proporcional à velocidade dada por - 2 x ˙   i → . Determine a posição x = x t , t ≥ 0 , da partícula no instante t e discuta o movimento, supondo

x 0 = 1             e             x ˙ 0 = 0

Passo 1

Como as forças são todas na direção x , podemos olhar para o problema em uma dimensão com

F = - x - 2 x ˙

Pela segunda lei de Newton, você deve saber que

F = m a = m x ¨

Como m = 1 :

x ¨ = - x - 2 x ˙

Logo,

x ¨ + 2 x ˙ + x = 0

Passo 2

A equação característica associada é

p 2 + 2 p + 1 = 0

Essa equação quadrática tem apenas uma raiz real:

p = - 1

Assim, a solução é do tipo

x t = A t + B   e p t

Como p = - 1 :

x t = A t + B   e - t

Como x 0 = 1 , temos que

1 = 0 + B ⇒ B = 1

Assim,

x t = A t + 1 e - t

Derivando,

x ˙ t = A e - t - A t + 1 e - t

Com x ˙ 0 = 0 , temos que

0 = A - 1 ⇒ A = 1

Assim,

x t = t + 1   e - t

Resposta

x t = t + 1   e - t

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