Uma partícula é obrigada a mover-se ao longo duma parábola de equação y = x^2

a.Em que ponto da curva estarão a abcissa e a ordenada variando com o tempo do mesmo modo?

b.Determinar esse coeficiente de variação se o movimento é tal que no instante t se tem x = sen(t) e y = sen^2(t)

Passo 1

Para começar essa questão vamos tentar traduzir o que se pede no primeiro item.

Quando se pergunta o ponto em que as coordenadas estarão variando igualmente pelo tempo, ele está dizendo que:

d x d t = d y d t   v a r i a ç õ e s   i g u a i s

Logo, para usar isso, vamos derivar a equação inicial y = x 2   → d y d t = 2 x d x d t ,   i g u a l a n d o   a s   d e r i v a d a s :

1 = 2 x   ,   l o g o   x = 1 2 ,   o   q u e   i m p l i c a   y = 1 4 .

Passo 2

Agora que fizemos o primeiro item, vamos para o segundo:

É pedido para acharmos o coeficiente de variação em um tempo t, tendo x = s e n t     e   y = s e n 2 t

Traduzindo, é pedido d x d t = d y d t   p a r a   x = s e n t   e   y = s e n 2 t

Passo 3

Obviamente que podemos escolher uma das duas funções para fazer as contas (x ou y), uma vez que suas derivadas são iguais. Para facilitar nossa vida vamos usar x.

x = s e n   t ,   p a r a   x = 1 2 :

t = a r c s e n 1 2

x = s e n t   → d x d t = c o s t   ,   u s a n d o   q u e   t = a r c s e n 1 2 :

d x d t = cos ⁡ a r c s e n 1 2 =   3 2

Resposta

a .   P o n t o   ( 1 2 . 1 4 )

b .   3 2