O ar em uma pequena sala de 3,6 x 2,4 x 2,4 metros cúbi-

cos é 3% monóxido de carbono. Começando em t = 0, o ar

fresco não contendo monóxido de carbono é soprado para

dentro da sala a uma vazão de 2,830 L/min. Se o ar na sala

sai por um ventilador na mesma vazão, quando estará com

0,01% de monóxido de carbono?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Primeiro, precisamos calcular o volume da pequena sala.

2830 L = 100ft³

V   =   3.6 ∙ 2.4   ∙ 2.4   = 20.736   m ³   =   768   f t ³    

Agora, seja y(t) a quantidade de monóxido de carbono na sala no instante t. Então, sua taxa de variação no tempo, y', é a diferença entre sua taxa de entrada e saída. A taxa de entrada necessária é 0, porque o ar fresco é inserido na sala, sem monóxido de carbono. Agora, a vazão é m³ de ar em um minuto. Que o conteúdo total na sala, portanto 25/192 do conteúdo de monóxido de carbono y(t), é

25 y ( t ) 192

Inicialmente, em t=0, o ar da sala continha 0,3% de monóxido de carbono. Portanto, a quantidade de monóxido de carbono no início foi

768 0.3 100   =   23.04

e obtemos a condição inicial

y ( 0 )   =   23.04

assim, nossa equaç]ao para o problema é

y ' ( t 0   =   - 25 y ( t ) 192 ,   y ( 0 )   =   23.04

Passo 2

Este é ODE separável separável. Reorganizando termos na equação dá

d y d t   =   - 25 y 192   ⇔   d y y   =   - 0.13 d t

integrando em ambos os lados

l n   | y |   =   - 0.13 t   +   c

| y |   =   e - 0.13 t   +   c   =   e - 0.13 t ∙ e c

y   =   C e - 0.13 t

onde C   : = ± e c

Agora, podemos usar a condição inicial para determinar o valor numérico da constante C. Substitua 0 por t e 23.04 por y na equação acima.

23.04   =   C e - 0.13 ∙ 0   ⇒   C   =   23.04

Portanto, a quantidade de monóxido de carbono em qualquer momento t é dada por

  y   =   23.04 e - 0.13 t

Para encontrar o momento em que o ar na sala será 0.01% monóxido de carbono, precisamos resolver

y ( t )   = 0.01 100 V

para t.

23.04 e - 0.13 t   =   768 ∙ 10 ⁻ ³

t   ≈   43.8

o que significa que o ar na sala será 0,01%de monóxido de carbono em cerca de 44 minutos.

Resposta

t   ≈   43.8   m i n