O ar em uma pequena sala de 3,6 x 2,4 x 2,4 metros cúbi-
cos é 3% monóxido de carbono. Começando em t = 0, o ar
fresco não contendo monóxido de carbono é soprado para
dentro da sala a uma vazão de 2,830 L/min. Se o ar na sala
sai por um ventilador na mesma vazão, quando estará com
0,01% de monóxido de carbono?
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Primeiro, precisamos calcular o volume da pequena sala.
2830 L = 100ft³
Agora, seja y(t) a quantidade de monóxido de carbono na sala no instante t. Então, sua taxa de variação no tempo, y', é a diferença entre sua taxa de entrada e saída. A taxa de entrada necessária é 0, porque o ar fresco é inserido na sala, sem monóxido de carbono. Agora, a vazão é m³ de ar em um minuto. Que o conteúdo total na sala, portanto 25/192 do conteúdo de monóxido de carbono y(t), é
Inicialmente, em t=0, o ar da sala continha 0,3% de monóxido de carbono. Portanto, a quantidade de monóxido de carbono no início foi
e obtemos a condição inicial
assim, nossa equaç]ao para o problema é
Passo 2
Este é ODE separável separável. Reorganizando termos na equação dá
integrando em ambos os lados
onde
Agora, podemos usar a condição inicial para determinar o valor numérico da constante C. Substitua 0 por t e 23.04 por y na equação acima.
Portanto, a quantidade de monóxido de carbono em qualquer momento t é dada por
Para encontrar o momento em que o ar na sala será 0.01% monóxido de carbono, precisamos resolver
para t.
o que significa que o ar na sala será 0,01%de monóxido de carbono em cerca de 44 minutos.