Uma piscina cujo volume é de 37.854 litros contém água

que é 0,01% cloro. Começando em t = 0, a água encanada

contendo 0,001% de cloro é bombeada a uma vazão de 19

L/min. A água da piscina sai com a mesma vazão. Qual é

a porcentagem de cloro após uma hora? Quando a água da

piscina terá 0,002% de cloro?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja x(t) o volume de cloro na piscina no instante t. Então na fórmula

taxa de mudança = taxa de entrada - taxa de saída

Nós temos

t a x a   d e   e n t r a d a   =   5 0.001 % 100 %   =   5 ∙ 10 ⁻ ⁵   ( g a l / m i n )

t a x a   d e   s a í d a   =   5 x ( t ) 10000   =   5 ∙ 10 ⁻ ⁴ x ( t )   ( g a l / m i n )  

e a equação para x(t) se torna

d x d t   = 5 ∙ 10 ⁻ ⁵   -   5 ∙ 10 ⁻ ⁴ x   ⇒   d x d t   +   5 ∙ 10 ⁻ ⁴ x   =   5 ∙ 10 ⁻ ⁵

essa é uma equação linear. Resolvendo rendimentos

x ( t 0   =   0.1   +   C e 5 ∙ 10 ⁻ ⁴ t   =   0.1   +   C e - 0.0005 t

Usando a condição inicial

x ( 0 )   =   10000 0.01 % 100 %   =   1   ( g a l )

encontramos o valor de C:

1   =   0.1   +   C e - 0.0005 ∙ 0

C   =   0.9

Passo 2

Portanto, x(t) = 0.1   +   0.9 e - 0.0005 t e a concentração de cloro, digamos, c(t), na piscina em

tempo t é

c ( t )   =   x ( t ) 10000 100 %   =   x ( t ) 100 %   =   0.001   +   0.009 e - 0.000 t %

com t = 60 min

Para responder à segunda questão, resolvemos a equação

Resposta

t   ≈   73.24 ( h )