A placa fina R da Figura 8, delimitada pela parábola e , está submersa verticalmente na água. Seja a força de fluido num lado de R.
a) Mostre que a largura de R à altura é e que a força de fluido numa faixa horizontal de espessura à altura é aproximadamente .
b) Escreva uma soma de Riemann que aproxime e use-a para explicar por que .
C) Calcule .

Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A – Primeira coisa que podemos perceber é que a função da figura, ou seja, é simétrica em relação ao eixo , se nós olhássemos o ponto , então a distância desse ponto ao eixo y é igual a . O ponto simétrico daquele ponto é igual a , então a distância daquele ponto para o eixo também é . Nós podemos concluir que a distância entre esses dois pontos é igual a
Portanto, a largura de uma placa na altura y é igual a , desde que y seja escolhido aleatoriamente.
A altura, neste caso, é igual a como mostrado na figura e como o objeto está submerso na água, nós também sabemos que a densidade é igual a (Essa informação será usada posteriormente). A espessura é igual a , portanto, a altura de uma tira é e antes, nós calculamos que a largura na altura y é igual a . Portanto, a área é igual a:
Juntando tudo, nós temos que
Passo 2
B - Se dividirmos esta placa em pequenas subseções com altura de cada subseção igual a, então a força de cada subintervalo é:
E a força total, é igual a
Se é infinitamente grande, a soma converge para uma integral
Passo 3
C – Para calcular , nós calcularemos a integral
Desenvolvendo os termos, nós temos que
Simplificando um pouco mais, um pouco mais... (sacou o meme?)
Com isso, a integral será igual a
Como , então a força será igual a
Resposta
Demonstrado acima