A placa fina R da Figura 8, delimitada pela parábola y = x 2 e y = 1 , está submersa verticalmente na água. Seja F a força de fluido num lado de R.

a) Mostre que a largura de R à altura y é f y = 2 y e que a força de fluido numa faixa horizontal de espessura Δ y à altura y   é aproximadamente 2 w y 1 2 1 - y Δ y .

b) Escreva uma soma de Riemann que aproxime F e use-a para explicar por que F = 2 w ∫ 0 1 y 1 2 1 - y   d y .

C) Calcule F .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Primeira coisa que podemos perceber é que a função da figura, ou seja, x 2 é simétrica em relação ao eixo y , se nós olhássemos o ponto ( y , y ) , então a distância desse ponto ao eixo y é igual a y . O ponto simétrico daquele ponto é igual a - y , y , então a distância daquele ponto para o eixo y também é y . Nós podemos concluir que a distância entre esses dois pontos é igual a

y + y = 2 y

Portanto, a largura de uma placa na altura y é igual a 2 y , desde que y seja escolhido aleatoriamente.

F = p A = w h A

A altura, neste caso, é igual a 1 - y como mostrado na figura e como o objeto está submerso na água, nós também sabemos que a densidade é igual a 62,5   l b / f t 3 (Essa informação será usada posteriormente). A espessura é igual a Δ y , portanto, a altura de uma tira é Δ y e antes, nós calculamos que a largura na altura y é igual a 2 y . Portanto, a área é igual a:

A = 2 y   Δ y

Juntando tudo, nós temos que

F = w h A = 2 w y 1 - y   Δ y

Passo 2

B - Se dividirmos esta placa em pequenas subseções com altura de cada subseção igual a   Δ y , então a força de cada subintervalo é:

F i = 2 w y i 1 - y i Δ y

E a força total, é igual a

F =   ∑ i = 1 n 2 w y i 1 - y i   Δ y

Se n é infinitamente grande, a soma converge para uma integral

F = ∫ 0 1 2 w y 1 - y   d y

Passo 3

C – Para calcular F , nós calcularemos a integral

F =   ∫ 0 1 2 w y 1 - y   d y  

Desenvolvendo os termos, nós temos que

F = 2 w ∫ 0 1 y 1 - y   d y

Simplificando um pouco mais, um pouco mais... (sacou o meme?)

F = 2 w ∫ 0 1 y - y 3 2   d y

Com isso, a integral será igual a

F = 2 w 2 3 y 3 2 - 2 5 y 5 2 0 1 = 2 w ∙ 4 15 = 8 15 w

Como w = 62,5   l b / f t 3 , então a força será igual a

F = 8 15 ∙ 62,5 = 100 3   l b

Resposta

Demonstrado acima