Uma placa semicircular de raio r, orientada como a da Figura 9, está submersa em água de tal modo que seu diâmetro está a uma profundidade de m pés. Calcule a força num dos lados da placa em termos de r e m .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Colocando a origem no centro da placa semicircular com o eixo y positivo apontando para baixo, a superfície da água está então em

y = - m

Além disso, na localização y, a largura da placa é

2 r 2 - y 2

E a profundidade

y + m

Portanto,

F = 2 w ∫ 0 r y + m r 2 - y 2   d y

Agora, nós temos que

∫ 0 r y r 2 - y 2   d y = - 1 3 r 2 - y 2 3 2 0 r

Logo, é igual a

∫ 0 r y r 2 - y 2   d y = 1 3 r 3

Passo 2

Geometricamente a integral

∫ 0 r r 2 - y 2   d y

Representa a área de um quarto de um círculo de raio r e, portanto, tem o valor π r 2 4 . Reunindo esses resultados, descobre que

F = 2 3 w r 3 + 1 m π w r 2 = 125 3 r 3 + 125 4 m π r 2   l b

Resposta

F =   125 3 r 3 + 125 4 m π r 2   l b