Como se pode dizer que os dois planos A1*x + B1*y + C1*z = D1 e A2*x + B2*y + C2*z = D2 são paralelos? E perpendiculares? Justifique sua resposta

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos os seguintes planos

P 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z = D 1 → n 1 = A 1 , B 1 , C 1

P 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z = D 2 → n 2 = A 2 , B 2 , C 2

Os dois planos P 1 e P 2 são paralelos se os dois vetores, n 1 e n 2 , são paralelos (qualquer um deles pode ser expresso como uma constante vezes o outro). Na linguagem matemática.

n 1 = k n 2

Desenvolvendo os termos

A 1 , B 1 , C 1 = k ∙ A 2 , B 2 , C 2

O que nos fornece o seguinte sistema de equações

A 1 = k A 2 B 1 = k B 2 C 1 = k C 2 → k = A 1 / A 2 k = B 1 / B 2 k = C 1 / C 2

Com isso,

k = A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2

Passo 2

Os dois planos P 1 e P 2 são perpendiculares se os dois vetores, n 1 e n 2 ​, são paralelos (seu produto escalar é zero). Na linguagem matemática

n 1 ∙ n 2 = 0

Substituindo os termos

A 1 , B 1 , C 1 ∙ A 2 , B 2 , C 2 = 0

Com isso, nós temos que

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0

Resposta

P a r a l e l o s :   A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2

P e r p e n d i c u l a r :   A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0