Pode-se assumir neste problema que, para x > 0 , D_x(raiz(x)) = 1 / (2 * raiz(x)) . No problema 2, calcule a derivada pedida pelo uso da regra da cadeia.

y = u^3 - 2 * u^(1/2), u = x^2 + 2x , calcule dy / dx .

Passo 1

Inicialmente, lembremos que pela regra da cadeia é possível calcular que:

d y d x = d y d u d u d x

Se temos que y é uma função explícita de u , ou pode ser identificada como uma função composta qualquer. Aplicando a regra da cadeia para a função dada, temos:

d y d x = d d u ( u 3 - 2 u 1 / 2 ) d d x ( x 2 + 2 x )

Passo 2

Aplicando a regra da soma em ambas as derivadas, temos que:

d y d x = ( d d u ( u 3 ) + d d u ( - 2 u 1 / 2 ) ) ( d d x ( x 2 ) + d d x ( 2 x ) )  

Passo 3

A primeira derivada nos parênteses utiliza a regra da potência. Na segunda derivada em relação a u podemos identificar que u 1 / 2 = u ou aplicar a regra da potência. Para as derivadas em x é necessário aplicar a regra da potência para a primeira , e a regra da identidade para a segunda. Também aplica-se a regra da homogeneidade (regra que permite tirar as constantes da derivada) sempre que adequado, obtendo:

d y d x = ( 3 u 3 - 1 - 2 ( 1 2 u ) ) ( 2 x 2 - 1 + 2 ( 1 ) ) = ( 3 u 2 - 1 u ) ( 2 x + 2 )

Substituindo u dado na questão, temos:

d y d x   =   ( 3 ( x 2 + 2 x ) 2 - 1 x 2 + 2 x ) ( 2 x + 2 )

Resposta

Finalmente:

d y d x   =   ( 3 ( x 2 + 2 x ) 2 - 1 x 2 + 2 x ) ( 2 x + 2 )