Pode-se assumir neste problema que, para x > 0 , D_x(raiz(x)) = 1 / (2 * raiz(x)) . No problema 1, calcule a derivada pedida pelo uso da regra da cadeia.

y = raiz(u), u = x^2 + x + 1 , calcule dy / dx .

Passo 1

Inicialmente, lembremos que pela regra da cadeia é possível calcular que:

d y d x = d y d u d u d x

Se temos que y é uma função explícita de u , ou pode ser identificada como uma função composta qualquer. Aplicando a regra da cadeia para a função dada, temos:

d y d x = d d u ( u ) d d x ( x 2 + x + 1 )

Passo 2

Pode-se utilizar a regra da potência para demonstrar a informação dada no enunciado de que x > 0 , D x x = 1 2 x . Aplicando então esta informação à derivada em relação a u e a regra da soma para a derivada em relação a x temos:

d y d x = 1 2 u ( d d x ( x 2 ) + d d x ( x ) + d d x ( 1 ) )  

Passo 3

A primeira derivada nos parênteses utiliza a regra da potência, a segunda a regra da identidade e a última a regra da constante (que anula a derivada de funções constantes), obtemos então:

d y d x = 1 2 u ( 2 x 2 - 1 + ( 1 ) ) = 1 2 u ( 2 x + 1 )

Substituindo u dado na questão, temos:

d y d x   =   1 2 x 2 + x + 1 ( 2 x + 1 )

Resposta

Finalmente:

d y d x   =   1 2 x 2 + x + 1 ( 2 x + )