Pode-se assumir neste problema que, para x > 0 , D_x(raiz(x)) = 1 / (2 * raiz(x)) . No problema 3, calcule a derivada pedida pelo uso da regra da cadeia.

y = u^(-5), u = x^4 + 1 , calcule dy / dx .

Passo 1

Inicialmente, lembremos que pela regra da cadeia é possível calcular que:

d y d x = d y d u d u d x

Se temos que y é uma função explícita de u , ou pode ser identificada como uma função composta qualquer. Aplicando a regra da cadeia para a função dada, temos:

d y d x = d d u ( u - 5 ) d d x ( x 4 + 1 )

Passo 2

Aplicando a regra da potência na derivada em u e a regra da soma na derivada em x , temos que:

d y d x = ( - 5 u - 5 - 1 ) ( d d x ( x 4 ) + d d x ( 1 ) )  

Passo 3

Para as derivadas em x restantes é simplesmente necessário aplicar a regra da potência para a primeira nos parênteses e lembrar que função constantes tem derivada nula, obtendo:

d y d x = - 5 u - 6 ( 4 x 4 - 1 ) = - 20 u - 6 x 3

Substituindo u dado na questão, temos:

d y d x   =   - 20 ( x 4 + 1 ) - 6 x 3

Resposta

Finalmente:

d y d x   =   - 20 x 3 ( x 4 + 1 ) 6