Pode-se assumir neste problema que, para , . No problema 4, calcule a derivada pedida pelo uso da regra da cadeia.
, calcule .
Passo 1
Inicialmente, lembremos que pela regra da cadeia é possível calcular que:
Se temos que é uma função explícita de , ou pode ser identificada como uma função composta qualquer. Aplicando a regra da cadeia para a função dada, temos:
Passo 2
Aplicando a regra da identidade na derivada em e a regra de Leibniz na derivada em , temos que:
Passo 3
No primeiro termo devemos aplicar inicialmente a regra da soma. No segundo termo é conveniente identificarmos que pode ser visto como uma função qualquer e portanto podemos aplicar novamente a regra da cadeia na forma:
Obtemos então:
Passo 4
Anulando as derivadas de funções constantes (Regra da constante). Retirando constantes das derivadas (Regra da homogeneidade). Aplicando a regra da potência, e a regra da soma para abrir a última derivada, temos:
Anulando a derivada da constante e aplicando a regra da potência na derivada restante, temos:
Passo 5
Simplificando e substituindo o valor de temos que:
Resposta
Finalmente: