Pode-se assumir neste problema que, para x > 0 , D_x(raiz(x)) = 1 / (2 * raiz(x)) . No problema 4, calcule a derivada pedida pelo uso da regra da cadeia.

y = u, u = (7 - x^2)(7 + x^2)^(-1) , calcule dy / dx .

Passo 1

Inicialmente, lembremos que pela regra da cadeia é possível calcular que:

d y d x = d y d u d u d x

Se temos que y é uma função explícita de u , ou pode ser identificada como uma função composta qualquer. Aplicando a regra da cadeia para a função dada, temos:

d y d x = d d u ( u ) d d x ( ( 7 - x 2 ) ( 7 + x 2 ) - 1 )

Passo 2

Aplicando a regra da identidade na derivada em u e a regra de Leibniz na derivada em x , temos que:

d y d x = ( 1 ) ( d d x ( 7 - x 2 ) ( 7 + x 2 ) - 1 + ( 7 - x 2 ) d d x ( ( 7 + x 2 ) - 1 ) )  

Passo 3

No primeiro termo devemos aplicar inicialmente a regra da soma. No segundo termo é conveniente identificarmos que ( 7 + x 2 ) pode ser visto como uma função qualquer v e portanto podemos aplicar novamente a regra da cadeia na forma:

d f d x = d f d v d v d x

Obtemos então:

d y d x = ( d d x ( 7 ) + d d x ( - x 2 ) ) ( 7 + x 2 ) - 1 + ( 7 - x 2 ) d d v ( v - 1 ) d d x ( 7 + x 2 )

Passo 4

Anulando as derivadas de funções constantes (Regra da constante). Retirando constantes das derivadas (Regra da homogeneidade). Aplicando a regra da potência, e a regra da soma para abrir a última derivada, temos:

d y d x = ( - 2 x 2 - 1 ) ( 7 + x 2 ) - 1 + ( 7 - x 2 ) ( - 1 v - 1 - 1 ) ( d d x ( 7 ) + d d x ( x 2 ) )

Anulando a derivada da constante e aplicando a regra da potência na derivada restante, temos:

  d y d x = ( - 2 x ) ( 7 + x 2 ) - 1 + ( 7 - x 2 ) ( - v - 2 ) ( 2 x 2 - 1 )

Passo 5

Simplificando e substituindo o valor de v temos que:

  d y d x = ( - 2 x ) ( 7 + x 2 ) - 1 - 2 x ( 7 - x 2 ) ( 7 + x 2 ) - 2 = - 2 x ( 7 + x 2 ) ( 1 + 1 ( 7 + x 2 ) )

Resposta

Finalmente:

d y d x   =   - 2 x ( 7 + x 2 ) ( 1 + 1 ( 7 + x 2 ) )