Em que pontos a derivada da função f(x) = x^3 coincide, numericamente, com o valor da própria função, isto é, f(x) = f'(x) ?

Passo 1

Primeiro, vamos achar a derivada da função:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 x + Δ x 3 - x 3 Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 x + Δ x x + Δ x x + Δ x - x 3 Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 x + Δ x - x 3 Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 x 3 + x 2 Δ x + 2 x 2 Δ x + 2 x Δ x 2 + x Δ x 2 + Δ x 3 - x 3 Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 3 x 2 Δ x + 2 x Δ x 2 + Δ x 3 Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 Δ x 3 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 3 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2

Substituindo Δ x = 0 , teremos:

f ' x = 3 x 2 + 2 x 0 + 0 2

f ' x = 3 x 2

Passo 2

Agora que temos a derivada da função, vamos igualar à função original, para sabermos o valor de x que torna possível a igualdade:

f ' x = f x

3 x 2 = x 3

3 = x 3 x 2

3 = x

Resposta

Pronto. A função f x = x 3 coincide, numericamente, com sua derivada f ' x = 3 x 2 quando x = 3 .

E aí? Fácil? Difícil?

Se tiver dúvida, pode mandar pra gente!