A população de um certo país tem crescido a uma taxa proporcional ao número de habitantes. No momento, existem 80 milhões de habitantes. Dez anos atrás, havia 70 milhões. Admitindo que esta tendência permaneça, determine (a) a expressão aproximada do número de habitantes no instante t (adotando t = 0 como instante inicial) e (b) o número aproximado de habitantes no país ao fim dos próximos 10 anos.

Passo 1

No começo do enunciado ele nos diz que a taxa de variação é proporcional à quantidade inicial, então temos:

d N d t = k N

Sabendo disso, temos que desenvolver a solução com as condições iniciais do enunciado para acharmos a solução da letra (a)

Depois de desenvolvermos a letra (a), só vai faltar a gente aplicar 10 anos após que ele nos pede.

Passo 2

Desenvolvendo a solução por EDO separável.

1 N d N = k d t

∫ 1 N d N = k ∫ d t

l n N + c = k t

Usando propriedades logarítmicas e b l n ( k ) = k b .

e ln ⁡ N + c = e k t

N e c = e k t

N = e - c e k t

Substituindo a constante afim de simplificar e - c = c .

N = c e k t

Agora, o que precisamos é aplicar as condições iniciais do enunciado.

Em t = 0 , N = 8 0

8 0 = c e 0

c = 8 0

Em t = - 10 , Q = 7 0

7 0 = c e - 10 k

7 0 = 8 0 e - 10 k

ln ⁡ 8 7 = - 10 k

k = 0 , 01335

Pronto!! Já temos a função que vamos aplicar os anos.

N ( t ) = 8 0 e 0 , 01335 t

Passo 3

O enunciado nos pede que t = 10 .

N ( t ) = 8 0 e 0 , 01335 t

N = 8 0 e 0,01335 ( 10 )

                t = 91,42   m i l h õ e s

Resposta

  1. N t = 80 e 0,01335 t .
  2. t = 91,42   m i l h õ e s .