A população de mosquitos em determinada área aumenta a uma taxa proporcional à população atual e, na ausência de outros fatores, a população dobra a cada semana. Inicialmente há mosquitos na área e predadores (pássaros, morcegos, etc.) comem cerca de 20.000 mosquitos por dia. Determine população de mosquitos na área em qualquer instante t
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba??
Indique por a população no instante t, medido em semanas. Na ausência de outros fatores, a população cresce a uma taxa proporcional à população atual e, em termos de equações, isso significa que:
E temos pela condição inicial que
E também que dobra a cada semana, assim:
Assim, por equivalência da primeira equação temos:
Passo 2
Temos que a função é do tipo:
Podemos fazer:
Então impomos a condição:
Assim temos que:
Integrando de ambos os lados, teremos:
Como não necessitamos mais da função geral, podemos fazer e usar:
Esta técnica é chamada fator integrante
Assim, sabendo que:
Temos:
Façamos:
Assim:
E:
Passo 3
Aplicando a condição inicial
Assim:
E
Portanto temos a equação final:
(Na ausência de predadores)
Agora contando que cada pássaro come 20.000 por dia, temos a seguinte equação:
Aplicando novamente fator integrante, temos:
Temos que:
Assim ficando:
Para o caso onde há predadores
Resposta
Na ausência de predadores
Na presença de predadores