A população de mosquitos em determinada área aumenta a uma taxa proporcional à população atual e, na ausência de outros fatores, a população dobra a cada semana. Inicialmente há 200.000 mosquitos na área e predadores (pássaros, morcegos, etc.) comem cerca de 20.000 mosquitos por dia. Determine população de mosquitos na área em qualquer instante t

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Indique por S ( t ) a população no instante t, medido em semanas. Na ausência de outros fatores, a população cresce a uma taxa proporcional à população atual e, em termos de equações, isso significa que:

∂ ∂ t S t = r S ( t )

E temos pela condição inicial que S 0 = 200.000

E também que dobra a cada semana, assim: S 7 = 2 S 0

Assim, por equivalência da primeira equação temos:

S ' - r S = 0

Passo 2

S ' - r S = 0

Temos que a função é do tipo:

d y d t + P y = Q

Podemos fazer:

ρ d y d x + ρ P y = ρ Q

Então impomos a condição:

ρ d y d x + ρ P y = d d x ρ y

Assim temos que:

d ρ d x = ρ P → d ρ ρ = p d x

Integrando de ambos os lados, teremos:

ln ⁡ ρ = ∫ P d x + ln ⁡ c

ρ = ± C e ∫ P d x

Como não necessitamos mais da função geral, podemos fazer ± C = 1 e usar:

ρ = e ∫ P d x

Esta técnica é chamada fator integrante

Assim, sabendo que:

P ' = d p d t

Temos:

d p P = r d t

Façamos:

P = - r

Q = 0

Assim:

ρ = e ∫ - r d t   = e - r t

E:

e - r t S = C

S t = C e r t

Passo 3

Aplicando a condição inicial S 0 = S 0 = 200.000

S 0 = C e r t → C = S 0

Assim:

S t = S 0 e r t

E S 7 = 2 S 0

S 7 = 2 S 0 = S 0 e 7 r → 2 = e 7 r → r = ln ⁡ 2 7

Portanto temos a equação final:

S t = S 0 e ln ⁡ 2 7 t

(Na ausência de predadores)

Agora contando que cada pássaro come 20.000 por dia, temos a seguinte equação:

S ' = r P - 20.000

S ' = ln ⁡ 2 7 P - 20.000

Aplicando novamente fator integrante, temos:

ρ = e - ln ⁡ 2 7   t

e - ln ⁡ 2 7   t     S = ∫ - e - ln ⁡ 2 7   t 20.000 d t + P

S = 7 20.000 ln ⁡ 2 + P e ln ⁡ 2 7 t

Temos que:

S 0 = 200.000

200.000 = 7 20.000 ln ⁡ 2 + P

P = 200.000 - 7 20.000 ln ⁡ 2

Assim ficando:

S t = 7 20.000 ln ⁡ 2 + 200.000 - 7 20.000 ln ⁡ 2 e ln ⁡ 2 7 t  

Para o caso onde há predadores

Resposta

S t = S 0 e ln ⁡ 2 7 t

Na ausência de predadores

S t = 7 20.000 ln ⁡ 2 + 200.000 - 7 20.000 ln ⁡ 2 e ln ⁡ 2 7 t  

Na presença de predadores