Probar que {x ∈ R^n : |x - a| < r} es abierto, condierando la funcion f: R^n → R donde es f(x) = |x - a|.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Primeiro vamos provar que o conjunto é aberto. Vamos fazer isso pela definição!!

Tomemos um ponto b ∈ R n . Para todo ϵ > 0 , tal que δ = ϵ . Então a continuidade deve satisfazer:

0 < x - b < δ = ϵ

Cola comigo pro próximo passo?!

Passo 2

Assim:

f x - f b =   x - a - b - a   ≤ x - a - b - a

Mas:

x - a - b - a ≤ x - b

Que é limite que definimos acima, logo:

x - a - b - a ≤ x - b < δ = ϵ

Passo 3

Desse modo, x ∈ R n : x - a < r é aberto em todo intervalo menor que r, logo x ∈ R n : x - a < r = f - 1 ( - ∞ , r ) é aberto em todo R n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)