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Enunciado

Cálculo - Michael Spivak - Calculo Em Variedades- Ed: 1º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 15

Probar que { x ∈ R n : x - a < r } es abierto (ver tambien el problema 1-27 )

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para provar que um conjunto é aberto, basta provarmos que todo ponto do conjunto é ponto interior.

Passo 2

Assim, tomemos y ∈ x - a < r   = B ( a ; r ) e também façamos ϵ = r - a , y

De modo que mostramos que B ( y ; ϵ ) ⊆ B ( a ; r )

Passo 3

Assim. Tomemos qualquer z ∈ B y ; ϵ . Então:

a , z ≤ a , y + y , z < a , y + ϵ

E que:

a , y + ϵ = r

Assim:

a , z ≤ a , y + y , z < a , y + ϵ = r

Provando que todo ponto z faz com que seja um ponto

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)