Probar que |x - y| ≤ |x| + |y| .cuando se verifica la igualdad?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

E provaremos não de forma obvia, como:

x = 0 ; y = 0

Seria sem graça hum? Kkkk. Portanto:

x != 0 ; y != 0

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Então:

(|x| + |y|)^2 = |x| |x| + 2 |x| |y| + |y| | |y|

Sabemos que:

|x| >= x

E:

|x| |y| >= x y

Mas:

|x|^2 = x^2

De forma que:

(|x| + |y|)^2 >= x^2 + 2 x y + y^2

(|x| + |y|)^2 >= (x + y)^2

Tirando a raiz:

sqrt((|x| + |y|)^2) >= sqrt((x + y)^2)

Mas:

sqrt((x + y)^2) = | x + y |

Logo:

(|x| + |y|) >= | x + y |

:. |x| + |y| >= | x + y |

Passo 3

Agora façamos y -> - y

|x| + |- y| >= | x - y |

E a igualdade se verifica quando um vetor é não positividade

Resposta

E a igualdade se verifica quando um vetor é não positividade