Probar que si f: R^n → R^m es diferenciable en a ∈ R^n entonces es continua en a. Indicacion: utilicese el problema 1-10.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Façamos f diferenciavel em a ∈ R n , então existe uma aplicação λ : R n → R m tal que:

lim h → 0 ⁡ ( f a + h - f a - λ h h = 0

Ou equivalentemente

f a + h - f a = λ h + r h

O que é r ( h ) ? Cola comigo pro próximo passo que te explico

Passo 2

Ele é o termo que satisfaz:

lim h → 0 ⁡ r h h = 0

E o termo linear adjunto λ h → 0 se h = ∑ i = 1 n h i e i   sendo e 1 , … ,   e n é a base estandarte para R n

Então por linearidade, temos λ ( h ) = ∑ i = 1 n h i λ e i onde cada termo tende a 0 porque h → 0 .

Passo 3

Desse modo:

lim h → 0 ⁡ f a + h - f a = 0

Isto é, o limite lim h → 0 ⁡ f a + h = f ( a ) provando portanto que f é contínua em em a.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)